حاسبة المساحة بالقدم المربع للمثلث

لماذا تساوي المساحة نصف القاعدة في الارتفاع

الصيغة ½ × القاعدة × الارتفاع ليست اعتباطية. أي مثلث هو بالضبط نصف المستطيل الذي يشاركه القاعدة والارتفاع، لأنك تستطيع دائمًا تقطيع المثلث وإعادة ترتيب القطع في مستطيل بالقاعدة نفسها ونصف الارتفاع. لهذا السبب لا يتغير النصف أبدًا، سواء أكان المثلث طويلًا ضيقًا أم قصيرًا عريضًا. وبمجرد أن تستوعب أن المثلث نصف صندوق، تتوقف الصيغة عن كونها شيئًا يُحفَظ وتصبح شيئًا يمكنك إعادة بنائه في الحال.

كما يفسّر ذلك سبب خروج الوحدات بالقدم المربع: أنت تضرب طولين بالأقدام، فينتج القدم المربع، وتنصيف قيمة بالقدم المربع يُبقيها بالقدم المربع. يجب أن تكون القاعدة والارتفاع بالوحدة نفسها قبل الضرب، لذا حوّل أي قياس بالبوصة إلى أقدام أولًا بالقسمة على اثنتي عشرة.

إيجاد الارتفاع العمودي

الخطأ الأكثر شيوعًا على الإطلاق هو قياس الضلع المائل بدلًا من الارتفاع الحقيقي. الارتفاع هو المسافة المستقيمة من القاعدة إلى الرأس المقابل، مقيسة بزاوية قائمة على القاعدة، لا على طول الحافة المنحدرة. في المثلث القائم يكون هذا سهلًا لأن الضلعين اللذين يلتقيان عند الزاوية القائمة متعامدان أصلًا، فأحدهما قاعدتك والآخر ارتفاعك.

أما في المثلث غير القائم فعليك إسقاط عمود. اختر قاعدةً، ثم قِس بشكل مستقيم صعودًا من ذلك الخط القاعدي إلى القمة، مُبقيًا الشريط قائمًا على القاعدة. إذا وقعت القمة خارج نطاق القاعدة، فقد يمتد العمود حتى إلى ما وراء القاعدة نفسها، وهذا جيد؛ فالارتفاع لا يزال يُقاس بزاوية قائمة على خط القاعدة، ممتدًّا عند اللزوم.

تقسيم المضلعات إلى مثلثات

أي شكل ذي أضلاع مستقيمة، مهما بلغ من عدم الانتظام، يمكن تقسيمه إلى مثلثات، وهذا هو مفتاح قياس المساحات الغريبة. تصبح قطعة أرض خماسية أو سداسية الأضلاع مروحةً من المثلثات تشترك في زاوية واحدة؛ فتجد مساحة كل مثلث وتجمعها. يستخدم المسّاحون ومنسّقو الحدائق هذا النهج بالضبط للأراضي غير المنتظمة لأن المثلثات لا تحتاج سوى قاعدة وارتفاع عمودي، وكلاهما يمكنك قياسه على الأرض.

• اختر زاوية واحدة وارسم خطوطًا إلى كل زاوية غير مجاورة.
• أصبح لديك الآن مجموعة من المثلثات تغطي الشكل بأكمله.
• قِس قاعدة كل مثلث وارتفاعه العمودي.
• اجمع المساحات الفردية للحصول على المساحة الإجمالية بالقدم المربع.

أين تظهر مساحة المثلث في المشاريع الفعلية

تظهر القياسات المثلثة أكثر بكثير مما يتوقع الناس. جدران أطراف الجملونات مثلثات تجلس فوق مستطيلات، لذا تعتمد عليها تقديرات الكسوة والطلاء. وتشمل تحويلات العلّية وأسفل الدرج والغرف ذات الأسقف المائلة جميعها مقاطع عرضية مثلثة. ويحدّد منسّقو الحدائق أبعاد أحواض الزهور المثلثة والأراضي الزاوية، ويقسّم عمال الأسقف الأسقف ذات الزوايا والوديان إلى أوجه مثلثة. أتقِن قاعدة نصف القاعدة في الارتفاع وستتمكن من قياس مساحات لا تستطيع صيغة الطول في العرض البسيطة الاقتراب منها.

وهناك أيضًا اختصار يستحق المعرفة عندما تستطيع الوصول إلى الأضلاع الثلاثة كلها لكن ليس إلى ارتفاع واضح. تجد صيغة هيرون مساحة المثلث من أطوال أضلاعه وحدها: خذ نصف المحيط، وسمّه s، ثم احسب الجذر التربيعي لـ s في (s ناقص a) في (s ناقص b) في (s ناقص c)، حيث a وb وc هي الأضلاع الثلاثة. إنها حسابات أكثر من القاعدة في الارتفاع، لكن لقطعة أرض خارجية غير منتظمة تستطيع مدّ شريط على طول كل حافة فيها لكنك لا تستطيع قياس عمود حقيقي، فإنها تحوّل ثلاثة قياسات أرضية إلى مساحة دقيقة. وبين الطريقتين يمكنك تحديد أبعاد أي مثلث تقريبًا تصادفه، سواء أوصلت إلى ارتفاعه أم إلى حوافه فقط.