Pourquoi l'aire vaut la moitié de la base fois la hauteur
La formule ½ × base × hauteur n'est pas arbitraire. Tout triangle vaut exactement la moitié du rectangle qui partage sa base et sa hauteur, car on peut toujours découper un triangle et réagencer les morceaux en un rectangle de même base et de moitié de hauteur. C'est pourquoi le facteur un demi ne change jamais, que le triangle soit haut et étroit ou court et large. Une fois intégré qu'un triangle est la moitié d'une boîte, la formule cesse d'être une chose à mémoriser pour devenir une chose que vous pouvez reconstruire sur le champ.
Cela explique aussi pourquoi les unités ressortent en pieds carrés : vous multipliez deux longueurs en pieds, ce qui donne des pieds carrés, et diviser par deux une valeur en pieds carrés laisse des pieds carrés. La base et la hauteur doivent toutes deux être dans la même unité avant la multiplication : convertissez donc d'abord toute mesure en pouces en pieds, en divisant par douze.
Trouver la hauteur perpendiculaire
L'erreur la plus courante est de mesurer le côté incliné au lieu de la vraie hauteur. La hauteur est la distance en ligne droite entre la base et le sommet opposé, mesurée à angle droit par rapport à la base, et non le long du côté en pente. Sur un triangle rectangle, c'est facile car les deux côtés qui se rejoignent à l'angle droit sont déjà perpendiculaires : l'un est votre base et l'autre votre hauteur.
Sur un triangle non rectangle, vous devez abaisser une perpendiculaire. Choisissez une base, puis mesurez à la verticale depuis cette ligne de base jusqu'au sommet, en gardant le ruban d'équerre par rapport à la base. Si le sommet se situe hors de l'emprise de la base, la perpendiculaire peut même retomber au-delà de la base elle-même, et c'est très bien ainsi ; la hauteur reste mesurée à angle droit par rapport à la ligne de base, prolongée si nécessaire.
Découper les polygones en triangles
Toute forme à côtés droits, aussi irrégulière soit-elle, peut être divisée en triangles, et c'est la clé pour mesurer les espaces atypiques. Une parcelle à cinq ou six côtés devient un éventail de triangles partageant un même coin ; vous trouvez l'aire de chaque triangle et vous les additionnez. Géomètres et paysagistes utilisent exactement cette approche pour les parcelles irrégulières, car les triangles ne demandent qu'une base et une hauteur perpendiculaire, toutes deux mesurables sur le terrain.
- Choisissez un coin et tracez des lignes vers chaque coin non adjacent.
- Vous obtenez alors un ensemble de triangles qui pavent toute la forme.
- Mesurez la base et la hauteur perpendiculaire de chaque triangle.
- Additionnez les aires individuelles pour la surface totale.
Où l'aire d'un triangle apparaît dans les projets réels
Les mesures triangulaires interviennent bien plus souvent qu'on ne le pense. Les murs pignons sont des triangles posés sur des rectangles : les estimations de bardage et de peinture en dépendent. Aménagements de combles, sous-faces d'escalier et pièces sous rampant impliquent tous des sections triangulaires. Les paysagistes dimensionnent massifs triangulaires et parcelles d'angle, et les couvreurs décomposent les toits à arêtiers et noues en pans triangulaires. Maîtrisez la règle un demi base fois hauteur et vous pourrez mesurer des espaces qu'une simple formule longueur fois largeur ne peut atteindre.
Il existe aussi un raccourci à connaître lorsque vous pouvez atteindre les trois côtés mais pas une hauteur nette. La formule de Héron donne l'aire d'un triangle à partir des seules longueurs de ses côtés : prenez la moitié du périmètre, appelez-la s, puis calculez la racine carrée de s fois (s moins a) fois (s moins b) fois (s moins c), où a, b et c sont les trois côtés. C'est plus de calcul que base fois hauteur, mais pour une parcelle extérieure malcommode où vous pouvez tendre un ruban le long de chaque bord sans mesurer de vraie perpendiculaire, elle transforme trois mesures au sol en une aire exacte. Entre les deux méthodes, vous pouvez dimensionner presque n'importe quel triangle rencontré, que vous puissiez atteindre sa hauteur ou seulement ses côtés.